Запуск notebook

ipython notebook

Основы

Вывод красиво (в начале пишем)

import sympy
sympy.init_printing()
%pylab inline

Числа в python

В Python есть два типа для хранения чисел int и float

У int работает целочисленное деление (берется целая часть результата)

>>> type(3)
int
>>> type(3.14)
float
>>> 1/3
0

Встроенная функция sqrt может вычислить квадратный корень

>>> import math as mth
>>> mth.sqrt(9)
3.0
>>> mth.sqrt(8)
2.82842712475

Иногда дроби плохо считать в float , например, 1/3 + 2/3 это 1. Но если посчитать в виде десятичных дробей, то потеряем точность и не получим 1.

Хочется считать точно и не терять корни.

>>> import sympy
>>> sympy.sqrt(3)
sqrt(3)
>>> sympy.sqrt(8)
2*sqrt(2)

%TODO% Резервированные константы (e, pi) и греческие буквы

Дальше считаем, что у нас работают функции из sympy

Символы - symbols

В python можно было первое использование переменной было ее созданием

x = 3

В sympy так нельзя

>>> x + 1
Traceback (most recent call last):
...
NameError: name 'x' is not defined
Traceback (most recent call last):
...
NameError: name 'x' is not defined

В sympy нужно сначала определить переменные

>>> x = symbols('x')
>>> x + 1
x + 1

или сразу несколько переменных

>>> x, y, z = symbols('x y z')

Имя переменной и символ может состоять из нескольких букв

>>> height = symbols('height')

Имя переменной может не совпадать с ее символом.

>>> crazy = symbols('unrelated')
>>> crazy + 1
unrelated + 1

Нельзя делать символы Q,C,O,S,I,N и E
Они имеют специальные значения.

Выражения

Можно записать несколько переменных в выражение. Можно придумать любое имя выражению, например, expr или aaa.

>>> expr = 2*x + 3*x - sin(x) - 3*x + 42 
>>> expr 
2*x + 3*x - sin(x) - 3*x + 42
>>> aaa = x**2 + 2*x +1
>>> aaa
x**2 + 2*x +1

Еще выражений

>>> expr = x + 2*y
>>> expr
x + 2*y
>>> expr + 1
x + 2*y + 1
>>> expr - x
2*y
>>> x*expr
x*(x + 2*y)

Математические функции и константы

Для работы с символом ∞ как oo не забудьте или писать sm.oo или

>>> from sympy import oo

oo	∞
sqrt(x)	x ** 0.5
root(8, 3)	2 = корень 3 степени из 8
root(x, n)	x ** (1.0/n)
factorial(n)	n!
sin(x) cos(x) tan(x) cot(x)	sin, cos, tangence, cotangence
log(x)	ln(x)
log(x, b)	log_b(x)

simplify - упростить выражение

>>> simplify(sin(x)**2 + cos(x)**2)
1

expand, factor, collect - раскрыть скобки, сгруппировать, в форме полинома

>>> expr = x + 2*y
>>> expanded_expr = expand(x*expr)
>>> expanded_expr
x**2 + 2*x*y
>>> factor(expanded_expr)
x*(x + 2*y)

>>> factor( x**2-2*x-8 )
(x - 4)*(x + 2)
>>> expand( (x-4)*(x+2) )
x**2 - 2*x - 8
>>> collect(x**2 + x*b + a*x + a*b, x)
x**2 + (a+b)*x + a*b # collect terms for diff. pows of x

тригонометрические функции trigsimp и expand_trig

>>> expand_trig(sin(x + y))
sin(x)&#8901;cos(y) + sin(y)&#8901;cos(x)
>>> trigsimp(sin(x)*cos(y) + sin(y)*cos(x))
sin(x + y)

subs - подстановка, evalf, n, N - вычислить

>>> expr = sin(x) + cos(y)
>>> expr
sin(x) + cos(y)
>>> expr.subs({x:1, y:2})
sin(1) + cos(2)
>>> expr.subs({x:1, y:2}).n()
0.425324148260754

apart, together - работа с дробями

>>> 1/( (x+2)*(x+1) )
       1
---------------
(x + 1)*(x + 2)

>>> apart(1/( (x+2)*(x+1) ), x)
    1       1
- ----- + -----
  x + 2   x + 1

>>> (x+1)/(x-1)
x + 1
-----
x - 1

>>> apart((x+1)/(x-1), x)
      2
1 + -----
    x - 1

together - привести к общему знаменателю

>>> together(1/x + 1/y + 1/z)
x*y + x*z + y*z
---------------
     x*y*z

Limit

limit(функция, переменная, значение) - найти предел функции при переменной стремящейся к значению

>>> limit(sin(x)/x, x, 0)
1
>>> limit(x, x, oo)
oo
>>> limit(1/x, x, oo)
0

>>> limit(x**x, x, 0)
1

series Разложить в ряд

Функция .series(переменная, точка, порядок) - разложить функцию по переменной в окрестностях точки с точностью до порядка

>>> cos(x).series(x, 0, 10)
     2    4     6      8
    x    x     x      x      / 101 - — + — - — + ----- + O\x  /
    2    24   720   40320
>>> (1/cos(x)).series(x, 0, 10)
     2      4       6        8
    x    5*x    61*x    277*x     / 101 + — + ---- + ----- + ------ + O\x  /
    2     24     720     8064

summation Сумма

                            b
                          ____
                          \   `
summation(f, (i, a, b)) =  )    f
                          /___,
                          i = a

>>> summation(2*i - 1, (i, 1, n))
 2
n
>>> summation(1/2**i, (i, 0, oo))
2
>>> summation(1/log(n)**n, (n, 2, oo))
  oo
 ___
 \  `
  \     -n
  /   log (n)
 /__,
n = 2
>>> summation(i, (i, 0, n), (n, 0, m))
      3    2
m    m    m
-- + — + -
6    2    3
>>> summation(x**n/factorial(n), (n, 0, oo))
 x
e

diff Производная

diff(func, var) производная функции func по переменной var

>>> diff(sin(x), x)
cos(x)
>>> diff(sin(2*x), x)
2*cos(2*x)

>>> diff(tan(x), x)
   2
tan (x) + 1

diff(func, var, n) производная функции func по переменной var порядка n

>>> diff(sin(2*x), x, 1)
2*cos(2*x)

>>> diff(sin(2*x), x, 2)
-4*sin(2*x)

>>> diff(sin(2*x), x, 3)
-8*cos(2*x)

%?% Производная от двух переменных

integrate Интегрирование

Неопределенный интеграл

>>> integrate(6*x**5, x)
 6
x
>>> integrate(sin(x), x)
-cos(x)
>>> integrate(log(x), x)
x*log(x) - x
>>> integrate(2*x + sinh(x), x)
 2
x  + cosh(x)

Определенный интеграл

>>> integrate(x**3, (x, -1, 1))
0
>>> integrate(sin(x), (x, 0, pi/2))
1
>>> integrate(cos(x), (x, -pi/2, pi/2))
2
>>> integrate(exp(-x), (x, 0, oo))
1
>>> integrate(log(x), (x, 0, 1))
-1

Численное интегрирование

Сначала делаем интеграл. Потом вычисляем его численное приближение разными способами.

Делаем интеграл:

>>> from sympy import sin, sqrt
>>> from sympy.abc import x, n
>>> from sympy.integrals import Integral

>>> e = Integral(sin(x), (x, 3, 7))       # делаем интеграл
>>> e
Integral(sin(x), (x, 3, 7))

Считаем его как частичную сумму

as_sum(n=None, method='midpoint', evaluate=True)

n - The number of subintervals to use, optional.
method
- left
- right
- midpoint
- trapezoid
evaluate - If False, returns an unevaluated Sum expression. The default is True, evaluate the sum.

>>> e.as_sum(2, 'left')
2*sin(5) + 2*sin(3)

>>> e.as_sum(2, 'midpoint')
2*sin(4) + 2*sin(6)

>>> e.as_sum(2, 'right')
2*sin(5) + 2*sin(7)

Когда часть функции слишком большая:

>>> e = Integral(1/sqrt(x), (x, 0, 1))
>>> e.as_sum(5).n(4)
1.730
>>> e.as_sum(10).n(4)
1.809
>>> e.doit().n(4)  # the actual value is 2
2.000
>>> e.as_sum(5, 'left')   # бесконечность
zoo

Замена переменных transform(x, u)

Performs a change of variables from x to u using the relationship given by x and u which will define the transformations f and F (which are inverses of each other) as follows:

If x is a Symbol (which is a variable of integration) then u will be interpreted as some function, f(u), with inverse F(u). This, in effect, just makes the substitution of x with f(x).
If u is a Symbol then x will be interpreted as some function, F(x), with inverse f(u). This is commonly referred to as u-substitution.

Once f and F have been identified, the transformation is made as follows: ∫baxdx→∫F(b)F(a)f(x)d/dx

where F(x) is the inverse of f(x) and the limits and integrand have been corrected so as to retain the same value after integration.

>>> from sympy.abc import a, b, c, d, x, u, y
>>> from sympy import Integral, S, cos, sqrt
>>> i = Integral(x*cos(x**2 - 1), (x, 0, 1))

>>> i.transform(x, u)
Integral(u*cos(u**2 - 1), (u, 0, 1))

>>> i.transform(x**2 - 1, u)
Integral(cos(u)/2, (u, -1, 0))

This attempt fails because x = +/-sqrt(u + 1) and the sign does not cancel out of the integrand:

>>> Integral(cos(x**2 - 1), (x, 0, 1)).transform(x**2 - 1, u)
Traceback (most recent call last):
...
ValueError:
The mapping between F(x) and f(u) did not give a unique integrand.

solve - решение уравнений и систем уравнений

Для решения уравнения вида f(x) = 0

>>> solve( x**2 + 2*x - 8, x)
[2, 4]

Сохраним корни уравнения в список (list)

>>> gen_sol = solve( a*x**2 + b*x + c, x)
>>> [ gen_sol[0].subs({'a':1,'b':2,'c':-8}),
gen_sol[1].subs({'a':1,'b':2,'c':-8}) ]
[2, -4]

Для решения системы уравнений x + y - 3=0 и 3*x - 2*y = 0 напишем список функций в виде [f(x), g(x)]

>>> solve([x + y - 3, 3*x - 2*y], [x, y])
{x: 6/5, y: 9/5}

Ссылки

wakari / Gallery / Lecture 5 Sympy J. Robert Johansson

-- TatyanaDerbysheva - 14 Feb 2016

sympy_tutorial.pdf: SymPy tutorial