Фракталы
Рекурсивный вызов функций
Вспомним рекурсивный вызов функции, когда функция вызывает саму себя.
Пример 1: Рисуем дерево
Нарисуем дерево с помощью рекурсивного вызова. Пусть дерево каждый год вырастает на 1 уровень, каждая ветка дает 2 новые веточки, отклоняющиеся на угол +ang и -ang от направления роста ветки. Размер ветки size, а веточки меньше ее на d.
Функция
tree(size, d, ang, n) будет рисовать дерево, которое росло n лет.
Функция tree нарисует ветку, вызовет саму себя 2 раза, чтобы нарисовать веточки, и вернется в точку, где начинала рисовать.
n - сколько лет дереву осталось расти.
| tree(100, 20, 30, 1) | tree(100, 20, 30, 3) | tree(100, 20, 30, 5) |
 |  |  |
# -*- coding: utf-8 -*-
import turtle
import time
'''
tree(size, d, ang, n) - рисовать дерево, которое росло n лет.
Пусть дерево каждый год вырастает на 1 уровень,
каждая ветка дает 2 новые веточки,
отклоняющиеся на угол +ang и -ang от направления роста ветки.
Размер ветки size, а веточки меньше ее на d.
'''
def tree(size, d, ang, n):
if n == 0: # дерево закончило расти, возвращаемся
return
t.fd(size) # рисуем ветку
t.left(ang) # поворачиваемся рисовать левую веточку
tree(size-d, d, ang, n-1) # рисуем левое поддерево (веточку и дальше)
# после этой функции черепаха будет в том же месте
# и повернута на тот же угол
t.left(-2*ang) # поворачиваемся рисовать правую веточку
tree(size-d, d, ang, n-1) # рисуем правое поддерево (веточку и дальше)
# после этой функции черепаха будет в том же месте
t.left(ang) # возвращаем направление ветки
t.fd(-size) # возвращаемся в начало ветки
# конец функции
t = turtle.Turtle()
t.shape("turtle")
t.width(3)
t.speed(0)
t.seth(90)
t.up()
t.bk(200)
t.down()
t.color('brown')
tree(100, 20, 30, 1)
turtle.done() Задача 1: Нарисовать дерево с зелеными листьями
Ветки последнего года у дерева нарисовать зелеными (green). Старые ветки рисовать коричневыми (brown).
| tree(100, 20, 30, 1) | tree(100, 20, 30, 3) | tree(100, 20, 30, 5) |
 |  |  |
Фракталы (теория)
Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — математическое множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей)
Один из способов нарисовать фрактальную кривую - рисовать заменяя отрезок на набор отрезков.
Список фракталов на английском языке
Пример 2: Кривая Коха
Кривая Коха - на каждой итерации каждый отрезок заменяется на такой набор отрезков:
Функция
koch_line(size, n) рисует на отрезке длины size кривую Коха и делает n итераций (рисует кривую Коха глубины n)
| koch_line(200, 0) | koch_line(200, 1) | koch_line(200, 3) |
 |  |  |
# -*- coding: utf-8 -*-
import turtle
import time
def koch_line(size, n):
if n == 0: # рисуем линию и дальше не идем
t.fd(size)
return
a = size/3 # иначе разбиваем отрезок
# и вместо него делаем набор отрезков
koch_line(a, n-1)
t.left(60)
koch_line(a, n-1)
t.right(120)
koch_line(a, n-1)
t.left(60)
koch_line(a, n-1)
# конец функции
t = turtle.Turtle()
t.shape("turtle")
t.width(3)
t.speed(0)
t.color('blue')
koch_line(200, 3)
turtle.done()
Можем нарисовать итерацию одну за другой разным цветом:
# -*- coding: utf-8 -*-
import turtle
import time
tones = [
'yellow', # tones[0]
'gold', # tones[1]
'orange', # tones[2]
'red', # tones[3]
'violet', # tones[4]
'blue', # tones[5]
'green' # tones[6]
]
def koch_line(size, n):
if n == 0: # рисуем линию и дальше не идем
t.fd(size)
return
a = size/3 # иначе разбиваем отрезок
# и вместо него делаем набор отрезков
koch_line(a, n-1)
t.left(60)
koch_line(a, n-1)
t.right(120)
koch_line(a, n-1)
t.left(60)
koch_line(a, n-1)
# конец функции
t = turtle.Turtle()
t.shape("turtle")
t.width(3)
t.speed(0)
for i in range(5): # i = 0..4
p0 = t.pos() # запомнили начальную позицию в p0
t.color(tones[i]) # новой итерации - новый цвет
koch_line(300, i) # нарисовали кривую Коха глубины i
t.up() # вернулись на начальную позицию
t.goto(p0)
t.down()
time.sleep(1) # ждем 1 секунду
turtle.done() Задача 2: Снежинка Коха
Снежинка Коха (при увеличении глубины):
Написать функцию
koch_tri(size, n), которая рисует снежинку Коха глубины n, у которой сторона первого треугольника size.
Результаты вызовов функции:
- koch_tri(200, 0)
- koch_tri(200, 1)
- koch_tri(200, 2)
- koch_tri(200, 3)
Задача 3а: Построить кубическую кривую 1 типа
Итерации разной глубины:
Конечный результат:
Вызов функции для разных глубин и цветов:
Задача 3b: Построить кубическую кривую 2 типа (кривая Минковского)
Итерации разной глубины:
Конечный результат:
Еще одна картинка, где показывают как получается кривая:
Вызов функции для разных глубин и цветов:
Задача 3c: Кривая Леви
Написать функцию
levy_line(size, n), которая рисует
кривую Леви глубины n, при длине отрезка size.
При увеличении глубины форма кривой меняется так:
| koch_line(320, 4) |  |
| koch_line(320, 7) |  |
| koch_line(320, 10) |  |
Кресты Висека
Теория
Задача 4a: Крест-1
Написать функцию, которая рисует крест глубины n.
Пример вызова функции для глубины 3
Задача 4b: Крест-2
Написать функцию, которая рисует крест глубины n.
Пример вызова функции для глубины 3
Ковер и треугольник Серпинского
Задача 4c: Ковер Серпинского
Ковер Серпинского
Написать функцию, которая рисует ковер Серпинского глубины n.
Ковер Серпинского с увеличением глубины выглядит так:
Ковер Серпинского глубины 3:
Задача 4d: Треугольник Серпинского
Треугольник Серпинского
Написать функцию, которая рисует треугольник Серпинского глубины n.
Треугольник Серпинского с увеличением глубины выглядит так:
Треугольник Серпинского глубины 3:
Дерево Пифагора
Дерево Пифагора основано на построении "Пифагоровы штаны", которое используется для доказательства теоремы Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов).
Классическое дерево строится на прямоугольном треугольнике с углами в 45
o. Можно построить дерево на непрямоугольном треугольнике. Или взять не равнобедренный треугольник ("дерево, обдуваемое ветром").
Задача 5а: Классическое дерево Пифагора
Написать функцию, которая строит дерево Пифагора глубины n.
На квадрате построен равнобедренный треугольник с углом при основании 45
o.
Построенное дерево глубины 7.
Задача 5b: Дерево Пифагора с равнобедренным треугольником и углом при основании 30o
Написать функцию, которая строит дерево Пифагора глубины n.
На квадрате построен равнобедренный треугольник с углом при основании 30
o.
Построенное дерево глубины 7.
Задача 5c: Дерево Пифагора, обдуваемое ветром
Написать функцию, которая строит дерево Пифагора глубины n.
На квадрате построен прямоугольный треугольник с углом при основании 30
o.
Построенное дерево глубины 7.
Задача 5d: Обобщенное дерево Пифагора, обдуваемое ветром
Написать функцию, которая строит дерево Пифагора глубины n.
На квадрате построен прямоугольный треугольник с углом при основании ang градусов.
Построенное дерево для угла ang=30 и глубины 7.
Создание последовательностей
Пример: Кривая дракона (генерация последовательностей)
Написать функцию, которая строит
кривую дракона глубины n.
Можно подойти к построению кривой по-другому. Запишем правила создания кривой как "что-то заменить на другое"
- Обозначим:
- Первый отрезок обозначим как АF.
- F - рисуем отрезок
- + - повернуть направо на 90o
- - - повернуть налево на 90o
- A и B - их не рисуем, они нужны, чтобы описывать правила
- Напишем правила:
- из А получаем A+BF+
- из В получаем −FA−B
# -*- coding: utf-8 -*-
import turtle
import time
import math
def gen(size, n): # Первый отрезок обозначим как АF
t.fd(size)
A(size, n-1)
def A(size, n):
if n==0: # A не рисуем никак
return
# из А получаем A+BF+
A(size, n-1) # A
t.right(90) # +
B(size, n-1) # B
t.fd(size) # F
t.right(90) # +
def B(size, n):
if n==0: # B не рисуем никак
return
# из В получаем −FA−B
t.left(90) # -
t.fd(size) # F
A(size, n-1) # A
t.left(90) # -
B(size, n-1) # B
t = turtle.Turtle()
t.shape("turtle")
t.width(3)
t.speed(0)
t.color('blue')
gen(10, 10) # правила применили глубиной 10
t.hideturtle()
turtle.done()
- e12_dragon.png:
Задача 6. Кривая Гильберта
Написать функцию, которая строит
кривую Гильберта глубины n.
Кривую Гильберта можно задать разными способами:
Или можно записать правила:
- Обозначим:
- Первый отрезок обозначим как А
- F - рисуем отрезок
- + - повернуть направо на 90o
- - - повернуть налево на 90o
- A и B - их не рисуем, они нужны, чтобы описывать правила
- Напишем правила:
- из А получаем - B F + A F A + F B -
- из В получаем + A F - B F B - F A +
Задача 7: Треугольник Серпинского через порождающие правила
Треугольник Серпинского можно задать через
порождающие правила:
- Обозначим:
- F, G - отрезок (рисуем вперед)
- + - повернуть налево на 120 градусов
- - - повернуть направо на 120 градусов
- начинаем с F−G−G
- Правила:
- из F получается F−G+F+G−F
- из G получается GG
Задача 8: Наконечник Серпинского
Треугольник Серпинского можно задать через
порождающие правила:
- Обозначим:
- A, B - отрезок (рисуем вперед)
- + - повернуть налево на 60 градусов
- - - повернуть направо на 60 градусов
- начинаем с A
- Правила:
- из A получается B-A-B
- из B получается A+B+A
Задача:
Напишите для кривой правила создания и напишите функцию через эти правила. Кривая:
В разработке
Крест (3 варианта)
